[Антиномия Рассела]
а- одна из наиболее известных логинческих антиномий, обнаруженная в начале этого века англ. филонсофом и логиком Б. Расселом (1872Ч1970). А. Р. связана с понятием множества. Относительно каждого мнонжества представляется осмысленным задать вопрос, является оно своим собственным элементом или нет. Напр., множество всех люндей не является человеком, так же как множество стульев Ч это не стул. Но множество, объединяющее все множества, представлянет собой множество и, значит, содержит самое себя в качестве элемента. Назовем множества, не содержащие себя в качестве эленмента, обычными,а содержащие себя Ч необычными и раснсмотрим множество, составленное из всех обычных множеств. Поскольку это множество, о нем можно спрашивать, обычное оно или нет. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, не должно сондержать самое себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что рассматриваемое множество представнляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к протинворечию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит самое себя в качестве элемента, а элементами рассматриваемого множества являются только обычные множества. В итоге множенство всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не являетнся таким элементом. Полученное противоречие говорит о том, что такого множества не существует. Но если столь просто и ясно занданное множество не может существовать, то в чем различие межнду возможными и невозможными множествами? Наивное, или интуитивное, представление о множестве как сколь угодно обнширном соединении в чем-то однородных объектов способно веснти, таким образом, к противоречию и нуждается в прояснении и уточнении. А. Р. не имеет специфически математического характера, ее можно переформулировать в чисто логических терминах. Б.Рассел предложил следующий популярный вариант открытой им антинномии. Представим, что совет какой-то деревни так определил обязанности парикмахера: брить всех мужчин деревни, которые не бреются сами, и только этих мужчин. Должен ли он брить самого себя? Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. Таким образом, этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно. Для избежания этой и других антиномий Б. Рассел построил теорию логических типов (см.: Антиномия). Другим способом устранения А. Р. является отказ от использованния лслишком больших множеств
